Может ли военнослужащий сесть на больничный с ребёнком

Прямо указывает на возможность осуществления ухода за больным членом семьи военнослужащим-отцом
Приказ Минобороны РФ от 30 июня 2006 г. N 200
"Об утверждении Порядка обеспечения денежным довольствием военнослужащих Вооруженных Сил Российской Федерации",
который ограничений по полу родителя не устанавливает:

62. Военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, освобожденным от исполнения должностных обязанностей в связи с уходом за больным членом семьи на основании больничного листа (справки) лечебного учреждения, денежное довольствие выплачивается в полном объеме за период освобождения от исполнения должностных обязанностей.

Порядок выдачи листка регулируется Приказом Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 1 августа 2007 г. N 514
"О порядке выдачи медицинскими организациями листков нетрудоспособности"
Смотрите там п.12,13,14 (предельные сроки больничного) и
Раздел V. Порядок выдачи листка нетрудоспособности по уходу за больным членом семьи

Согласно п.35 Листок нетрудоспособности по уходу за больным членом семьи выдается медицинским работником одному из членов семьи (опекуну, попечителю, иному родственнику), фактически осуществляющему уход.

На основании рапорта военнослужащего и листка нетрудоспособности командир части издает приказ о временном освобождении данного военнослужащего от исполнения обязанностей военной службы в связи с осуществлением ухода за больным ребенком.

Сказанное выше верно для случаев, когда отец-военнослужащий воспитывает больного ребенка один или и мать и отец - работают (служат) и могут выбирать сами - кто из них, получив листок, будет осуществлять уход за больным членом семьи.

https://www.gvka.ru/forum/topic/39608-mozhet-li-papa-voennosluzhaschii-poiti-na-bolnichn/