Может ли бабушка выписать ребенка из квартиры отца?

Добрый день. Ирина. Как следует из Вашего вопроса, бабушка является собственником квартиры. В соответствии с Правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации... снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае (привожу подходящий для Вас перечень): изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства; выселения из занимаемого жилого помещения или признания утратившим право пользования жилым помещением - на основании вступившего в законную силу решения суда. 

Выселение ребёнка вряд ли получится, поскольку он фактически не проживает в квартире. Но бабушка  может обратиться в суд с иском о снятии ребёнка с регистрационного учёта по месту жительства. При принятии решения суд должен будет учесть наличие либо отсутствие у Вас своего жилого помещения, возможность регистрации ребёнка по месту регистрационного учёта матери, в какой мере нарушаются (и нарушаются ли вообще) права и интересы бабушки, ну и, конечно же, интересы Вашего ребёнка, а также другие обстоятельства. 

Желаю удачи!