Мэрия не дает квартиру - можно подать на них в суд за причинение морального ущерба?

Екатерина Дмитриевна, исполняться должно решение, которое вступило в законную силу. У Вас есть решение (это решение суда первой инстанции). В силу оно не вступило, поскольку подана апелляция. Если решение второй инстанции будет в Вашу пользу (апелляцию не удовлетворят), то Вам обязаны предоставить жилье.

По вопросу морального вреда - как решение вступит в законную силу, Вы имеете право подать иск о возмещении морального вреда, но по вопросу первоначального отказа в предоставлении жилья, а не по вопросу подачи апелляции (это право стороны).

Я бы вам посоветовала обратиться в суд за обжалованием действий по неисполнению решения суда.

Интересно,что в практике Европейского суда есть дела с выплатой значительной компенсации лицу, которое также обжаловало длительное бездействие по исполнению решения суда.

Однако, Вы указываете,что подана аппелляционная жалоба,а это означает, что решение суда не вступило в законную силу. Так о каком неисполнении решения суда может идти речь?