Сохранится ли за бабушкой 50% собственности дома, если она выпишется из него и сделает постоянную регистрацию в другом регионе?

Добрый день! Право собственности подтверждается свидетельством о праве собственности, выданным регистрационной палатай, где это право устанавливается. То есть у Вашей бабушки должно быть на руках Свидетельство в котором будет обозначен жилой дом, 1/2 которого на праве собственности принадлежит бабушке. Если такового нет, то его можно заказать в регистрационной палате.

Не зависимо от того зарегистрированна ли там бабушка или нет, право собственности за ней сохраняется в любом случае, ведь имущества у гражданина может быть сколько угодно, а быть зарегистрированным везде он не может.