Заявление о пропаже человека - можно ли подать не только по месту жительства, но и по месту работы?

Подать заявление о розыске можно в любом органе государственной власти - они его перешлют в полицию.

Да, в Вашем случаен заявление можно подать в любой отдел полиции, в дальнейшем органы внутренних дел должны будут провести доследственную проверку в порядке ст.144-145 УПК РФ. По результатам данной проверки будет принято решение о передаче вашего сообщения по подследственности (территориальности), либо о возбуждении уголовного дела, если выясниться, что причины пропажи носят криминальный характер, либо об отказе в возбуждении уголовного дела. Но заявление о безвестном исчезновении человека надо подавать обязательно.