Выплатят ли нам подоходный налог 13%, если дом построили на безвозмездную субсидию от государства?

Не выплатят. Имущественный налоговый вычет, предусмотренный настоящим подпунктом, не применяется в случаях, если оплата расходов на строительство или приобретение жилого дома, квартиры, комнаты или доли (долей) в них для налогоплательщика производится за счет средств работодателей или иных лиц, средств материнского (семейного) капитала, направляемых на обеспечение реализации дополнительных мер государственной поддержки семей, имеющих детей, за счет выплат, предоставленных из средств федерального бюджета, бюджетов субъектов Российской Федерации и местных бюджетов, а также в случаях, если сделка купли-продажи жилого дома, квартиры, комнаты или доли (долей) в них совершается между физическими лицами, являющимися взаимозависимыми в соответствии со статьей 105.1 настоящего Кодекса.