Разрешение на оружие, переезд: надо ли мне идти в местное ЛРО и ставить их в известность?

Вы вправе обратиться с заявлением о выдаче Вам лицензии на приобретение оружия по месту жительства.

Федеральный закон от 13 декабря 1996 г. N 150-ФЗ
"Об оружии"

ст 22 Для получения лицензии на приобретение оружия гражданин Российской Федерации обязан представить в орган внутренних дел по месту жительства заявление, составленное по установленной форме, документ, удостоверяющий гражданство Российской Федерации, документы о прохождении соответствующей подготовки и периодической проверки знания правил безопасного обращения с оружием и наличия навыков безопасного обращения с оружием, медицинское заключение об отсутствии противопоказаний к владению оружием и другие предусмотренные настоящим Федеральным законом документы.

Постановление Правительства РФ от 21 июля 1998 г. N 814
"О мерах по регулированию оборота гражданского и служебного оружия и патронов к нему на территории Российской Федерации"

59. Принадлежащие гражданам Российской Федерации оружие и патроны должны храниться по месту их жительства с соблюдением условий, обеспечивающих их сохранность, безопасность хранения и исключающих доступ к ним посторонних лиц, в запирающихся на замок (замки) сейфах, сейфовых шкафах или металлических шкафах для хранения оружия, ящиках из высокопрочных материалов либо в деревянных ящиках, обитых железом. Органы внутренних дел по месту жительства владельцев имеют право проверять условия хранения зарегистрированного ими оружия.
Хранение оружия и патронов гражданами Российской Федерации в местах временного пребывания должно осуществляться с соблюдением условий, исключающих доступ к оружию посторонних лиц.

В соответствии с Законом Вам нет нреобходимости информировать по месту временной регистрации местное ЛРР

Да, непременно нужно сообщить участковому и ЛРО...