Нет на руках трудового договора - заставят ли отрабатывать 14 дней?

работодатель вправе расторгнуть с Вами трудовой договор не позднее 14 дней со дня поступления Вашего заявления об увольнении.

Ну если он заключался, де-факто существует, то конечно может. Если запись в трудовую внесена, НДФЛ удержива и перечислял, то же может. Здесь вопрос в следующем, возникли ли фактически трудовые отношения.... То что они не оформлены должным образом это одно нарушение, а вот если Вы работали в чёрную, без оформления, НДФЛ и ПФР за Вас взносы не вносились и т.п., это совсем другое.