Могу ли я сразу подписать заявление работника, и уволить его сразу, как получил от него заявление?

добрый день! согласно ТК РФ работник вправе расторгнуть трудовой договор, предупредив работодлателя не менее чем за две недели. По соглашению между работником и работодателем указанный срок может быть сокращен. В последний рабочий день с работником производится окончательный расчет и выдается трудовая книжка.

Т.о, Вы вправе расторгнуть трудовой договор в день подачи заявления, произвести расчет с работником и выдать трудовую книжку

Согласно пункта 3 статьи 77 Трудового Кодекса РФ одним из оснований прекращения трудового договора является расторжение трудового договора по инициативе работника. Порядок расторжения договора регулируется статьей 80 Кодекса, которая гласит, что работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен трудовым договором либо соглашением сторон. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении. По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
Т.е. если между Вами и Вашим работником достигнуто соглашение о прекращении трудовых отношений именно в день, указанный в заявлении, Вы вправе издать приказ об увольнении по унифицированной форме Т-8. Так же в статье 80 ТК РФ указано, что в последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.
С дополнительными обязанностями работодателя (именно связанными с увольнением) Вы можете ознакомиться, прочитав следующие нормативные акты: статью 4.1 Федерального закона от 29 декабря 2006 г. N 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством", о передаче в день увольнения сведений по начисленным и уплаченным страховым взносам обязательного пенсионного страхования см. Федеральный закон от 1 апреля 1996 г. N 27-ФЗ "Об индивидуальном (персонифицированном) учете в системе обязательного пенсионного страхования".

Ответ на Ваш второй вопрос содержится в статье 140 ТК РФ - при прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника. Если работник в день увольнения не работал, то соответствующие суммы должны быть выплачены не позднее следующего дня после предъявления уволенным работником требования о расчете.
Вывод - Работодатель обязан именно в день издания приказа об увольнении произвести все расчеты с работником, расчитать заработную плату и компенсацию за неиспользованный отпуск (отпускные) и выдать все причитающиеся суммы.

С уважением, Хорохордин Евгений Васильевич